Il Chi Quadro sembra il nome di un personaggio che avremmo dovuto incontrare al liceo, probabilmente tra un filosofo presocratico e un parente poco socievole di don Abbondio. «Chi era costui?» viene da domandarsi, sperando che la risposta non richieda una lavagna, tre gessetti e il recupero dei traumi scolastici.
Invece, dietro questo nome vagamente enigmatico, si nasconde uno strumento capace di affrontare domande molto concrete. I clienti del mattino scelgono una colazione diversa da quelli del pomeriggio? Chi arriva in un negozio attraverso i social acquista più spesso di chi lo scopre passeggiando? Le preferenze per un servizio cambiano tra quartieri?
Sono questioni che riguardano bar, negozi, aziende e abitudini quotidiane. La statistica entra in scena quando vogliamo capire se due caratteristiche siano associate oppure se stiamo attribuendo un significato eccessivo a qualche coincidenza.
Perché il nostro cervello è bravissimo a trovare collegamenti. Anche quando nessuno glieli ha ordinati.
Chi Quadro: un nome misterioso per una domanda semplice
Cominciamo dall’anagrafe. Il “chi” del nome non è un pronome interrogativo: è una lettera dell’alfabeto greco, χ. Il “quadro” indica che qualcosa viene elevato al quadrato. Il simbolo completo è dunque χ².
Già così, il personaggio perde un po’ della sua aria minacciosa.
Il Chi Quadro di Pearson, nella versione dedicata all’associazione tra caratteristiche, confronta ciò che osserviamo con ciò che ci aspetteremmo se quelle caratteristiche fossero indipendenti.
Prendiamo un bar. Ci chiediamo se la scelta tra dolce e salato sia associata al momento della giornata. Abbiamo due caratteristiche: la fascia oraria e il tipo di ordinazione.
Se le preferenze fossero indipendenti dall’orario, la proporzione di clienti che sceglie il dolce sarebbe la stessa al mattino e al pomeriggio. Se invece le proporzioni cambiano, nella tabella osservata compare un’associazione.
La domanda è semplice: conoscere l’orario ci dà qualche informazione in più sulla scelta del cliente?
Il Chi Quadro traduce questa domanda in un numero. Prima, però, bisogna apparecchiare i dati.
Le variabili qualitative: parole da contare
“Variabile qualitativa” sembra un’espressione inventata per rendere più impegnativo un esame. In realtà indica una caratteristica espressa attraverso categorie.
Dolce o salato. Acquisto o mancato acquisto. Pagamento con carta o in contanti. Cliente soddisfatto, insoddisfatto o indeciso.
Non misuriamo quanti centimetri sia alto qualcuno o quanti euro abbia speso. Registriamo a quale categoria appartiene una risposta o un comportamento.
Come facciamo, allora, a usare i numeri? Contiamo.
Le categorie sono parole; il numero di persone presenti in ciascuna categoria è una quantità. La statistica lavora su quei conteggi, chiamati “frequenze”.
Una frequenza di venti significa semplicemente che abbiamo contato venti casi. Nessuna vibrazione cosmica, nessun segnale radio: venti persone, venti risposte o venti eventi.
La tabella di contingenza, ovvero il bar messo in ordine
Immaginiamo di registrare, per un esempio inventato, le scelte di cento clienti diversi. Cinquanta arrivano al mattino e cinquanta al pomeriggio. Ognuno sceglie una sola delle due opzioni considerate.
Otteniamo questa tabella:
| Fascia oraria | Dolce | Salato | Totale |
|---|---|---|---|
| Mattino | 40 | 10 | 50 |
| Pomeriggio | 20 | 30 | 50 |
| Totale | 60 | 40 | 100 |
Questa è una tabella di contingenza. Il nome potrebbe far pensare a un piano di emergenza comunale, ma è soltanto una tabella che incrocia due caratteristiche.
Le righe distinguono le fasce orarie. Le colonne distinguono le ordinazioni. Ogni casella racconta quante persone presentano entrambe le caratteristiche: per esempio, quaranta clienti sono arrivati al mattino e hanno scelto il dolce.
A occhio, qualcosa si vede. Al mattino il dolce conquista l’80% dei clienti; al pomeriggio scende al 40%.
Il Chi Quadro serve a quantificare quanto questa distribuzione si allontani da quella che avremmo in condizioni di indipendenza.
Non sostituisce il buon senso: gli mette accanto un righello.
L’indipendenza statistica non significa vivere da soli
Nel linguaggio comune, essere indipendenti significa cavarsela senza chiedere aiuto. Nella statistica il significato è diverso: conoscere una caratteristica non modifica la distribuzione dell’altra.
Nel nostro bar, sessanta clienti su cento scelgono il dolce. La quota complessiva è quindi del 60%.
Se scelta e orario fossero indipendenti, ci aspetteremmo la stessa quota in entrambe le fasce: il 60% dei cinquanta clienti del mattino e il 60% dei cinquanta clienti del pomeriggio.
Tradotto: trenta ordinazioni dolci al mattino e trenta al pomeriggio. Il restante 40% sceglierebbe il salato, cioè venti persone per fascia.
La tabella attesa sarebbe questa:
| Fascia oraria | Dolce atteso | Salato atteso | Totale |
|---|---|---|---|
| Mattino | 30 | 20 | 50 |
| Pomeriggio | 30 | 20 | 50 |
| Totale | 60 | 40 | 100 |
Attenzione: non abbiamo deciso che tutti debbano ordinare la stessa cosa. L’indipendenza non richiede gusti uniformi. Richiede che le proporzioni delle scelte restino uguali tra i gruppi.
Il bar può continuare a vendere cornetti e focacce. La statistica, almeno questa volta, non pretende di modificare il menu.
Le frequenze attese non sono desideri del proprietario
La parola “attese” può trarre in inganno. Non indica quante brioche il barista spera di vendere, né una previsione ricavata dal suo ottimismo.
Le frequenze attese sono i conteggi che derivano dall’ipotesi di indipendenza, tenendo fermi i totali osservati.
Per ogni casella si usa una regola:
Frequenza attesa = totale della riga × totale della colonna ÷ totale generale
Per il dolce del mattino:
50 × 60 ÷ 100 = 30
Ecco tutta la magia. Una moltiplicazione e una divisione.
Il Chi Quadro parte da questo confronto tra tabella reale e tabella attesa. Il punto di riferimento viene costruito con i nostri stessi dati, senza inventare una colazione ideale.
La formula del Chi Quadro, senza bisogno di un esorcista
Ora possiamo guardare la formula. Per renderla leggibile, scriviamola con le parole:
χ² = somma di [(frequenza osservata − frequenza attesa)² ÷ frequenza attesa]
Per ogni casella facciamo tre operazioni: calcoliamo lo scarto tra osservato e atteso, lo eleviamo al quadrato e lo dividiamo per il valore atteso. Infine sommiamo tutti i risultati.
Nel nostro esempio il calcolo è questo:
| Casella | Osservato | Atteso | Contributo al Chi Quadro |
|---|---|---|---|
| Mattino, dolce | 40 | 30 | 100 ÷ 30 ≈ 3,33 |
| Mattino, salato | 10 | 20 | 100 ÷ 20 = 5 |
| Pomeriggio, dolce | 20 | 30 | 100 ÷ 30 ≈ 3,33 |
| Pomeriggio, salato | 30 | 20 | 100 ÷ 20 = 5 |
La somma dà un Chi Quadro di circa 16,67.
Il numero riassume la distanza tra le due tabelle. Se ogni conteggio osservato coincidesse con quello atteso, tutti gli scarti sarebbero zero e anche il risultato sarebbe zero.
Perché elevare gli scarti al quadrato?
Perché le differenze positive e negative, sommate direttamente, si annullerebbero.
Nel nostro caso troviamo dieci ordinazioni dolci in più rispetto all’atteso al mattino e dieci in meno al pomeriggio. Sommando +10 e −10 otteniamo zero. Ma le preferenze sono chiaramente diverse.
Elevando al quadrato, entrambi gli scarti diventano positivi: cento e cento. Così la differenza resta visibile.
La divisione per la frequenza attesa, invece, rapporta lo scarto alla dimensione del conteggio previsto. Una differenza di dieci su un’attesa di venti pesa diversamente dalla stessa differenza su un’attesa di mille.
Il Chi Quadro tiene conto anche di questo. Dieci persone possono riempire un piccolo locale o sparire tra la folla di uno stadio.
Un risultato diverso da zero non basta per proclamare una scoperta
Qui arriva una distinzione fondamentale.
Se il Chi Quadro è positivo, la tabella osservata presenta uno scostamento dall’indipendenza perfetta. Ma se quei dati provengono da un campione, lo scostamento potrebbe dipendere anche dalle normali oscillazioni del caso.
Intervistare dieci persone e trovarne sei favorevoli a qualcosa non significa aver individuato una legge universale. Magari abbiamo semplicemente incontrato sei persone favorevoli.
Dobbiamo dunque distinguere tra descrivere i dati raccolti e trarre conclusioni sulla popolazione da cui provengono.
Il Chi Quadro può essere impiegato come statistica di un test di indipendenza: uno strumento che valuta quanto i dati siano compatibili con l’ipotesi che, nella popolazione, le due caratteristiche siano indipendenti.
È il passaggio dal «qui vediamo una differenza» al «abbiamo elementi per ritenere che questa differenza non sia soltanto una fluttuazione del campione?».
Il p-value non è la percentuale di verità
Nel test compare spesso un altro termine capace di guastare l’umore: p-value.
In parole semplici, indica quanto sarebbe insolito ottenere un risultato almeno così distante dall’indipendenza, supponendo che l’indipendenza sia vera e che le condizioni del test siano rispettate.
Un valore piccolo segnala una scarsa compatibilità tra i dati e quell’ipotesi. Non indica la probabilità che la nostra spiegazione sia vera, né misura l’importanza commerciale del risultato.
Per interpretare il test contano anche i “gradi di libertà”, che per una tabella si calcolano moltiplicando il numero delle righe meno uno per il numero delle colonne meno uno.
Il software esegue i calcoli; noi dobbiamo sapere quale domanda gli abbiamo posto. Premere un pulsante resta più facile che interpretare correttamente la risposta.
Il Chi Quadro cresce anche quando cresce il pubblico
Supponiamo di ripetere il nostro esempio con mille clienti, mantenendo esattamente le stesse proporzioni. Tutti i conteggi diventano dieci volte maggiori.
Anche il Chi Quadro diventa dieci volte maggiore: passa da circa 16,67 a circa 166,67.
Le preferenze relative, però, non sono cambiate. Il dolce continua a essere scelto dall’80% dei clienti del mattino e dal 40% di quelli del pomeriggio.
Ecco perché un valore più alto non significa automaticamente un’associazione più forte, quando confrontiamo raccolte di dati differenti.
La numerosità pesa. Pesano anche la struttura della tabella e il numero delle categorie considerate.
Se vogliamo capire quanto sia intensa l’associazione, serve affiancare al Chi Quadro una misura adatta. Altrimenti rischiamo di scambiare un pubblico più numeroso per un fenomeno più potente.
La V di Cramér: quanto è forte questo legame?
La V di Cramér nasce proprio per esprimere l’intensità dell’associazione su una scala normalizzata tra zero e uno.
Zero corrisponde all’indipendenza nella tabella. Valori più vicini a uno indicano un’associazione più forte, pur con limiti legati alla struttura e ai totali della tabella.
La formula utilizza il Chi Quadro, il numero complessivo delle osservazioni e la più piccola tra le dimensioni della tabella, diminuita di uno.
Nel nostro esempio, con due righe e due colonne, il calcolo si semplifica:
V = radice quadrata di (16,67 ÷ 100) ≈ 0,41
Se moltiplichiamo per dieci tutti i conteggi, la V resta la stessa. Abbiamo quindi una misura che non cresce semplicemente perché abbiamo coinvolto più clienti mantenendo identiche le proporzioni.
Non va letta come un “41% di dipendenza”. E le etichette come debole, moderata o forte richiedono contesto: una differenza rilevante per una ricerca può essere poco utile per un’altra.
La V di Cramér ci aiuta a valutare l’intensità del legame. La sua importanza pratica va ragionata guardando anche percentuali, costi e obiettivi.
Dalla colazione alle decisioni di tutti i giorni
Fin qui abbiamo contato cornetti. Ma il ragionamento si trasferisce facilmente altrove.
Un negozio e i suoi canali pubblicitari
Un commerciante può incrociare il canale attraverso cui i clienti lo hanno scoperto con l’esito della visita: acquisto oppure mancato acquisto.
Il Chi Quadro aiuta a verificare se i due aspetti siano associati. Le percentuali mostrano poi dove si concentrano le differenze.
Questo può orientare un approfondimento sugli investimenti pubblicitari. Non basta, però, per stabilire quale canale sia più redditizio: bisogna considerare anche costo della promozione, importo degli acquisti e margini.
La statistica apre una domanda utile. La contabilità contribuisce alla risposta.
Un servizio e i motivi delle lamentele
Un’attività può distinguere le segnalazioni per sede e per motivo: attesa, pulizia, informazioni poco chiare.
Se la distribuzione delle lamentele varia tra le sedi, emerge un’indicazione operativa: forse conviene indagare problemi specifici, invece di organizzare l’ennesima riunione generale sul “miglioramento della qualità”.
Occorre leggere bene i dati, però. Analizzare soltanto chi si lamenta non ci dice automaticamente quale sede abbia più clienti insoddisfatti. Per quello servono anche i numeri complessivi dei clienti.
Un’associazione e le preferenze degli iscritti
Un’associazione culturale può confrontare le preferenze per conferenze, concerti e laboratori tra diverse fasce di età.
Un’eventuale associazione può suggerire come articolare il programma. Senza trasformare le categorie in caricature: non tutti i giovani vogliono concerti e non tutti gli adulti desiderano conferenze di tre ore.
I dati descrivono tendenze collettive. Le persone conservano il diritto di sorprenderci.
Associazione e causa: una coppia da non confondere
Il Chi Quadro può individuare un’associazione, ma non dimostra da solo un rapporto di causa ed effetto.
Nel nostro bar, orario e scelta sono collegati. Non possiamo però concludere che l’orologio provochi un improvviso desiderio di focaccia.
Potrebbero cambiare i clienti, le abitudini, i prodotti disponibili o lo scopo della visita. Al mattino qualcuno cerca la colazione; al pomeriggio qualcun altro sostituisce un pranzo saltato.
Per capire il meccanismo servono ulteriori informazioni e, quando possibile, un’indagine progettata appositamente.
La relazione statistica segnala dove guardare. Non firma una confessione al posto della causa.
Prima dei calcoli, servono dati raccolti bene
Nessuna formula elegante ripara automaticamente una raccolta di dati confusa.
Le categorie devono essere definite con chiarezza. Ogni osservazione deve essere classificata correttamente e, nel test ordinario, le osservazioni devono essere indipendenti: contare venti volte la stessa persona non equivale ad ascoltarne venti diverse.
Contano anche le frequenze attese. Quando sono troppo piccole, l’approssimazione su cui si basa il test può diventare poco affidabile. Una regola pratica comune richiede valori attesi sufficientemente numerosi; per tabelle piccole con conteggi scarsi si possono valutare metodi come il test esatto di Fisher.
Infine, il campione deve essere pertinente alla domanda. Se chiediamo soltanto agli amici del proprietario quanto sia eccellente il suo locale, potremmo misurare soprattutto la loro diplomazia.
Il Chi Quadro merita dati migliori di un sondaggio costruito per sentirsi dare ragione.
Chi era costui? Un modo per fare domande migliori
Alla fine, il Chi Quadro smette di sembrare un ostacolo scolastico e diventa un metodo per ragionare.
Partiamo da una domanda concreta, organizziamo i conteggi e costruiamo il confronto con una situazione di indipendenza. Misuriamo lo scostamento, valutiamo quanto possiamo estendere il risultato oltre i dati raccolti e consideriamo l’intensità dell’associazione.
Soprattutto, impariamo a distinguere ciò che vediamo da ciò che immaginiamo di aver spiegato.
Dietro “frequenze”, “contingenza” e “indipendenza” ci sono clienti, scelte, servizi e decisioni. Persino dietro quella lettera greca c’è un’idea accessibile: confrontare i fatti con un riferimento ragionato, prima di lasciar parlare soltanto le impressioni.
La prossima volta che qualcuno dirà «i clienti del pomeriggio scelgono sempre il salato», potremo rispondere: «Interessante. Quanti ne abbiamo contati?».
È una domanda meno teatrale di una sentenza pronunciata con sicurezza. Ma spesso è molto più utile.
E il nostro misterioso Chi Quadro, finalmente riconosciuto, potrà accomodarsi al tavolo. Dolce o salato, naturalmente, lo registriamo.
Se anche tu vuoi dire la tua su questo tema o altro, inviaci il tuo articolo o la tua opinione: saremo felici di leggerla e magari pubblicarla!